Жидкость

Описание

Гидродинамика сглаженных частиц (ГСЧ) — это один из распространенных методов моделирования жидкостей и газов. Он отличается простотой программирования и понимания процесса в отличие от моделирования на сетке. Этот метод был впервые предложен для моделирования астрофизических явлений, но сейчас используется также для моделирования жидкостей, газов и процессов деформации в твердых телах.

Двухфазное моделирование жидкости.

При моделировании ГСЧ жидкость представляется набором частиц, каждая из которых обладает набором физических характеристик, как-то: положение $\mathbf{r}_i$ , скорость $\mathbf{v}_i$ , масса $m_i$ . По этим значениям для частиц восстанавливается значение физических величин во всех точках простанства. Для частиц определяется длина сглаживания $h$ , на расстоянии которой свойства частиц «сглаживаются».

Вклад каждой частицы в значение физической величины в точке $\mathbf{r}$ определяется так называемой функцей ядра $W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i, h)$ . Чаще всего в качестве функции ядра используются Гауссова функция и полиномиальные сплайны. Значения последних равны нулю для частиц, расположенных дальше, чем на $h$ от точки $\mathbf{r}$ . Это позволяет эффективнее расчитывать модель, игнорируя ничтожно малый вклад далёких частиц.

Любая физическая величина в точке $\mathbf{r}$ может быть рассчитана по следующей формуле:

$A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j {A_j \over \rho_j} W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),$

где $A_j$ — значение величины в точке $\mathbf{r}_j$ , $\rho_j$ — плотность частиц в точке $\mathbf{r}_j$ . Например, плотность может быть вычислена следующим образом:

$\rho_\mathbf{r} = \rho(\mathbf{r}) = \sum_j m_j W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h).$

Для расчёта движения частиц в ГСЧ моделируются силы давления, вязкости и поверхностного натяжения.

Давление для частицы расчитывается исходя из её плотности:

$p_i = k (\rho_i - \rho_0),$

где $\rho_0$ — это плотность окружающей среды, а $k$ — коэффициент жесткости (сжимаемости). Этот параметр необязателен, но позволяет точнее настроить систему. Сила давления расчитывается по следующей формуле:

$f_{pressure}(\mathbf{r}) = \sum_j m_j {p_i + p_j \over 2 \rho_j} \nabla W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h)$

Вязкость — это эффект, который возникает при «трении» слоёв жидкость друг о друга. Сила вязкости зависит от скоростей соседних частиц и вычисляется по формуле:

$f_{viscosity}(\mathbf{r}) = \mu \sum_j m_j {\mathbf{v}_i - \mathbf{v_j} \over \rho_j} \nabla^2 W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),$

где $\mu$ — коэффициент вязкости.

Сила поверхностного натяжения расчитывается следующим образом:

$f_{tension}(\mathbf{r}) = \sigma \sum_j m_j {1 \over \rho_j} \nabla^2 W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения.

Для различных величин могут использоваться различные функции ядра, наиболее точно описывающие вклад соседних частиц. Для большинства величин достаточно хорошо подходит функция $W_{poly6}$ :

$W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} (h^2 - r^2)^3, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}$ $\nabla W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = - {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} 6 r (h^2 - r^2)^2, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}$ $\nabla^2 W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} 6 (h^2 - r^2) (4 r^2 - (h^2 - r^2)), & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}$

Тем не менее, для лучшего эффекта несжимаемой жидкости при расчёте плотности лучше воспользоваться специальной функцией ядра:

$W_{density}(\mathbf{r}, h) = \begin{cases} (1 - {r \over h})^2, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}$

Таким образом, моделирование заключается в пошаговой обработке системы частиц. Каждый шаг включает в себя для каждой частицы:

нахождение соседних частиц;
вычисление плотности;
вычисление давления;
расчёт сил: давление, вязкость и поверхностное натяжение;
добавление гравитации и расчёт ускорения;
пересчет скорости и положения;
проверку ограничений (стенки);
отрисовку.

Минимальные требования (базовая часть)

Базовая реализация проекта, в которой должны разбираться все участники, должна содержать:

визуализацию и моделирование заданной сцены с жидкостью;
загрузку начального состояния сцены из файла.

Расширенный интерфейс (индивидуальная часть)

Расширенный интерфейс должен добавлять хотя бы 2 различные возможности к базовому интерфейсу. Ниже перечислены возможные варианты расширения интерфейса, однако этим списком они не ограничены:

меню выбора сцены;
меню выбора способа моделирования (различные ядровые функции);
редактор сцены;
настройки свойств жидкости;
управление моделированием:
- пауза/продолжение;
- ускорение/замедление;
- перемотка;
интерфейс сохранения/загрузки текущего состояния сцены;
отображение поверхности жидкости;
и т.д.

Расширенные возможности моделирования (индивидуальная часть)

Расширенное моделирование должно добавлять хотя бы 2 различные возможности к базовому моделированию жидкости:

оптимизация расчёта:
- быстрое нахождение соседних частиц;
- автоматически подстраиваемая под каждую частицу длина сглаживания (чтобы в её окрестности всегда находилось примерно одно и то же кол-во частиц);
многофазные жидкости (разнородные частицы, вязкость и поверхностное натяжение действует только между частицами одного типа);
взаимодействие с движущимися объектами (мяч, пропеллер и т.п.);
и т.д.

Работа с базой данных (индивидуальная часть)

Модуль для работы с базой данных должен предоставлять хотя бы 2 различных возможности:

база сцен;
база жидкостей и других объектов сцены;
и т.д.

Программирование на языке Haskell — 2018